Question

【題目】已知橢圓 +y2=1的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 直線l過橢圓的右焦點F2與橢圓交于A，B 兩點， （Ⅰ）當直線l的斜率為1，點P為橢圓上的動點，滿足使得△ABP的面積為 的點P有幾個？并說明理由．
（Ⅱ）△ABF1的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓 +y2=1焦點在x軸上，右焦點F2（1，0）， 設直線l的方程為：y=x﹣1，則 ，整理得：3x2﹣4x=0，
解得：x1=0，x2= ，
則|AB|= |x1﹣x2|= ，
設點P到直線l的距離為d，則S△ABP= |AB|d= × ×d= ，
解得：d= ，
設P（x0 ， y0），則P到直線l的距離d= ，
令t=x0﹣y0﹣1，由 ，代入整理得：x02+2（x0﹣1﹣t）2=2，
化簡整理得：3x02﹣4（1+t）x0+2t2+4t=0，
由△≥0，解得：﹣ ﹣1≤t≤﹣ +1，
當﹣ ﹣1≤t＜0，橢圓上方的點到直線l的距離的最大值為 ＞ ，
則橢圓上存在兩個這樣的點P，使得△ABP的面積S△ABP= ，
當0≤t≤﹣ +1，橢圓下方的點到直線l的距離的最大值為 ＜ ，
則橢圓下方不存在這樣的P點，使得△ABP的面積S△ABP= ，
綜上可知：橢圓上存在這樣的P點有二個；
（Ⅱ）△ABF1的內切圓的半徑為r， = （|AF1|+|BF1|+|AB|）×r= 4a×r，
∴要使內切圓的面積最大，即使得△ABF1最大，設直線l：x=my+1，
∴ ，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0…10分
由△=8（1+m2）＞0，
|y1﹣y2|= = ，
設點F1到直線l的距離為h則： = |AB|×h= = ，
令t= ，t≥0，則 = = ≤ = ，
當且僅當t= ，即m=0時， 取得最大值，
∴△ABF1面積最大值為 ，
則rmax= ，
∴△ABF1的內切圓的面積最大值為 ，此時直線l的方程為x=1
【解析】（Ⅰ）由橢圓 +y2=1焦點在x軸上，右焦點F2（1，0），設直線l的方程為：y=x﹣1，代入橢圓方程，利用兩點之間的距離公式，求得丨AB丨，根據三角形的面積公式求得點P到直線l的距離為d，利用點到直線的距離公式與d比較即可求得P點坐標；（Ⅱ）△ABF1的內切圓的半徑為r， = 4a×r，要使內切圓的面積最大，即使得△ABF1最大，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，點到直線的距離公式及基本不等式的性質，即可求得得△ABF1最大值，求得內切圓的半徑及面積和直線l的方程．