Question

記三角形面積為S，三條邊長分別為a，b，c，內切圓半徑為r，則平面幾何有性質：S=

1

2

（a+b+c）•r．若記四面體的體積為V，四個面面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，內切球半徑為R，請你用類比方法寫出立體幾何中相似的性質

V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）•R

．

Answer 1

分析：根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答：解：設四面體的內切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
利用類比推理可以得到四面體的體積為 V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）•R．
故答案為：V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）•R．

點評：類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（或猜想）．