Question

【題目】已知橢圓：的左，右焦點分別為，，點為橢圓上任意一點，點關于原點的對稱點為點，有，且當的面積最大時為等邊三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）與圓相切的直線：交橢圓于，兩點，若橢圓上存在點滿足，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意知：，從而可得橢圓的標準方程；

（2）利用直線：與圓相切可得，聯立方程利用韋達定理可得，代入橢圓方程可得，表示四邊形的面積，借助函數的單調性可得答案.

解：（1）依題意知：，∴，

∴橢圓的標準方程為：.

（2）∵直線：與圓相切，

∴原點到直線的距離為，即，

∴.

設，，，

由消去得，

∴，，

∴，

∵，

∴，

又在橢圓上，∴，

∴.

設的中點為，則，

∴四邊形的面積為

.

令，

則∵，∴，

∴，

∴四邊形面積的取值范圍為.