Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PC的中點G，利用線面平行的判定定理，證明AF∥EG即可．
（2）根據面面垂直的判定定理即可證明平面PCE⊥平面PCD．

解答：證明：（1）取PC的中點G，連結FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線∴FG

∥ .

.

1

2

CD．
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點
∴AB

∥ .

.

1

2

CD∴FG

∥ .

.

AE∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AF∥EG．
又EG?平面PCE，AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又
AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP，
又AF?平面ADP∴CD⊥AF．
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形，
∴PA=AD=2．
∵F是PD的中點，
∴AF⊥PD，又CD∩PD=D．
∴AF⊥平面PCD．．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，
又EG?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定，以及面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．