Question

設，曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)若對于任意的，恒成立，求的范圍；
(3)求證：

Answer 1

試題分析：（1）求得函數f（x）的導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先將原來的恒成立問題轉化為lnx≤m(x?)，設g(x)＝lnx?m(x?)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用導數研究g（x）在（0，+∞）上單調性，求出函數的最大值，即可求得實數m的取值范圍．
（3）由（2）知，當x＞1時，m＝時，lnx＜ (x?)成立．不妨令x＝，k∈N^*，得出
 [ln(2k+1)?ln(2k?1)]＜，k∈N^*，再分別令k=1，2，，n．得到n個不等式，最后累加可得．
(1)         2分
由題設，∴
，.                          4分
(2),，，即
設，即.
             6分
①若，，這與題設矛盾.        7分
②若方程的判別式
當，即時，.在上單調遞減，
，即不等式成立.                   8分
當時，方程，設兩根為 ，
當,單調遞增，，與題設矛盾.
綜上所述， .                      10分
(3) 由(2)知,當時, 時,成立.
不妨令
所以，
              11分
             12分
累加可得
∴
∴     ---------------14分