Question

已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．

（1）寫出拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

（2）證明：拋物線在點處的切線與直線平行；

（3）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解（1）將化為，則焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是……2分

（2）如圖，設(shè)，，把代入得，

由韋達(dá)定理得，，.…………4分

，點的坐標(biāo)為．

設(shè)拋物線在點處的切線的方程為，.…………5分

將代入上式得，

直線與拋物線相切，

，．

即．                                           .…………8分

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使，則，又是的中點，

．                                       .…………9分

由（Ⅰ）知

．

軸，．.…………11分

又

       ．.…………13分

，解得．

即存在，使．.…………14分

或設(shè)，由（2）有，

即                 .…………10分

         

         

        

即解之得：，故 .…………14分