Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．

（1）求證：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）若，AB=BC=2，P為AC中點，求三棱錐的體積。

Answer 1

(1)利用線線垂直證明線面垂直；(2)

試題分析：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A A₁⊥平面ABC，
∴A A₁⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，
∴AD⊥BC，
∵A A₁，AD為平面ABB₁A₁內(nèi)兩相交直線，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
又∵平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁                 7分
(2) 由等積變換得，
在直角三角形中，由射影定理()知，
∵，
∴三棱錐的高為                 10分
又∵底面積               12分
∴=             14分
法二：連接，取中點，連接，∵P為AC中點， 
,,　               9分
由（1）AD⊥平面A₁BC，∴⊥平面A₁BC，
∴為三棱錐P- A₁BC的高，                  11分
由（1）BC⊥平面ABB₁A₁　，            12分
，                   14分
點評：高考中常考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及幾何體體積的計算，這是高考的重點內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理