Question

已知函數在上是減函數，在上是增函數，函數在上有三個零點，且是其中一個零點．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍；
（3）設，且的解集為，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1），（2），（3）

試題分析：（1）函數在處單調性發生變化，所以，由得.（2）因為，所以，因此因為函數在上有三個零點，所以必有兩個不等的根，．又在上是增函數，所以大根不小于1，即，，故的取值范圍為．（3）已知不等式解集求參數取值范圍，有兩個解題思路，一是解不等式，根據解集包含關系對應參數取值范圍.二是轉化，將不等式在區間有解理解為恒成立問題，利用函數最值解決參數取值范圍.本題由于已知是其中一個零點，所以兩個方法都簡便.否則應利用變量分離求最值法.
試題解析：（1）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．         1分
∵f（x）在上是減函數，在上是增函數，
∴當時，取到極小值，即．∴．           3分
（2）由（1）知，，
∵是函數的一個零點，即，∴．           5分
∵的兩個根分別為，．
又∵在上是增函數，且函數在上有三個零點，
∴，即．                      7分
∴．
故的取值范圍為．                9分
（3）解法1：由（2）知，且．
∵是函數的一個零點，∴，
∵，∴，
∴點是函數和函數的圖像的一個交點．           10分
結合函數和函數的圖像及其增減特征可知，當且僅當函數和函數的圖像只有一個交點時，的解集為．
即方程組①只有一組解：            11分
由，得．
即．
即．
∴或．            12分
由方程②
得．∵，
當，即，解得．           13分
此時方程②無實數解，方程組①只有一個解
所以時，的解集為．           14分
（3）解法2：由（2）知，且．
∵1是函數的一個零點

又的解集為，
∴的解集為．          10分
．
．                            12分
．
．          14分