Question

函數f(x)=

1

2

x2- (a+b)

x2+1

+

9

2

，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R），集合A={x|

1

2

x2-3

x2+1

+

9

2

≤0}，
（1）求集合A；
（2）如果b=0，對任意x∈A時，f（x）≥0恒成立，求實數a的范圍；
（3）如果b＞0，當“f（x）≥0對任意x∈A恒成立”與“g（x）≤0在x∈A內必有解”同時成立時，求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）換元法：令

x2+1

=t≥1，則x²=t²-1，把不等式

1

2

x2-3

x2+1

+

9

2

≤0轉化為t²-6t+8≤0，即可求得集合A；
（2）由f（x）≥0恒成立，即可得到

1

2

x2- a

x2+1

+

9

2

≥0恒成立，分離參數，得a≤

1 2 x2+ 9 2

x2+1

，轉化為求函數

1 2 x2+ 9 2

x2+1

的最小值，換元，利用導數即可求得結果；
（3）同（2），只是此時轉化為a≤(

b

x2

)max，即a≤(

b

x2

)max=

b

3

，根據（2）可知a+b≤2

2

，利用不等式的可加性即可求得a的最大值．

解答：解：（1）令

x2+1

=t≥1，則x²=t²-1，
f（x）≤0，即

1

2

x2-3

x2+1

+

9

2

≤0，即t²-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤0
∴2≤t≤4，所以2≤

x2+1

≤4，所以x∈[-

15

，-

3

]∪[

3

，

15

]，
即A=[-

15

，-

3

]∪[

3

，

15

]；
（2）f（x）≥0恒成立也就是

1

2

x2- a

x2+1

+

9

2

≥0恒成立，
即

1

2

x2+

9

2

≥  a

x2+1

，
∵

x2+1

≥1，∴a≤

1 2 x2+ 9 2

x2+1

，
令

x2+1

=t，則t∈[2，4]，則y=

t2+8

2t

=

1

2

(t+

8

t

)，∴a≤y恒成立，∴a≤y_min，
由導數可知，當t=2

2

時，y_min=

1

2

×2

8

=2

2

，
∴a≤2

2

（3）對任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴a+b≤

1 2 x2+ 9 2

x2+1

=

1

2

x2+9

x2+1

，
由（2）可知a+b≤2

2

       ①，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤(

b

x2

)max，
∵b＞0，∴a≤(

b

x2

)max=

b

3

，
∴3a-b≤0        ②
①+②可得a≤

2

2

所以a的最大值為

2

2

，此時b=

3 2

2

．

點評：此題是個難題．考查函數恒成立問題，體現了轉化和分類討論的思想方法，同時考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．