Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為線段A₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）若AA₁=

3

，二面角A-B₁D-A₁的大小為60⁰，求線段 AB 的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連A₁B交AB₁于點E，由題意可得：E為AB₁的中點，即可得到BC₁∥DE，進而利用線面平行的判定定理得到線面平行．
（Ⅱ）結合題中的條件建立空間直角坐標系，設AB=a，再寫出各點的坐標，即可求出兩個平面的法向量，進而利用向量之間的有關運算求出兩個向量的夾角，再將其轉化為二面角的平面角．

解答：證明：（Ⅰ）連A₁B交AB₁于點E，
∵四邊形A₁ABB₁為矩形，
∴E為AB₁的中點…．（1分）
又D為線段A₁C₁中點，
∴BC₁∥DE…..（3分）
∵BC₁?平面AB₁D，DE?平面AB₁D．
∴BC₁∥平面AB₁D…..（6分）
解：（Ⅱ）以點A為原點，AB為X軸正半軸，平面ABC內過A垂直于AB的直線為Y軸，AA₁為Z軸，建立空間直角坐標系，設AB=a，
則A（0，0，0），A₁（0，0，

3

），B₁（a，0，

3

），D（

a

4

，

3

4

a，

3

)，
∴

AB1

=(a，0，

3

)，

AD

=

a

4

，

3

2

，

3

)，
設

n

=(x，y，z)⊥平面AB₁D，則

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AD

，
故

n

•

AB1

=0，

n

•

AD

=0，
則ax+0+

3

z=0，

a

4

x+

3

4

ay+

3

z=0，
解得：y=

3

x，z=-

3

3

ax，
取

n=

(1，

3

，-

3

3

a)…．（9分）
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴

AA1

=(0，0，

3

)是平面A₁B₁C₁的一個法向量，
∴cos?

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n |•| AA1 |

=

-a

4+ 1 3 a2 • 3

=-

1

2

，
解得a=2，
∴線段 AB 的長度為2．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練則線面平行的判定定理與幾何體的結構特征，對于求二面角的平面角的知識點，其關鍵是做角，一般是結合圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題