Question

某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規定：至少正確完成其中2題的便可提前通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

1

3

，且每題正確完成與否互不影響．求：
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；
（2）試用統計知識分析比較兩考生的實驗操作能力．

Answer 1

分析：（1）根據概率公式分別求出隨機變量的分布列，并計算出數學期望．（2）利用均值和方差分析兩個考試的實驗操作能力．

解答：解：（1）設考生甲、乙正確完成實驗操作的題數分別為ξ、η，
則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．…（2分）
P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

．
∴考生甲正確完成題數的概率分布列為

ξ	1	2	3
p	1 5	3 5	1 5

…（4分）
Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2，
因為P(η=0)=

C

0 3

(1-

2

3

)3=

1

27

，同理：P(η=1)=

6

27

，P(η=2)=

12

27

，P(η=3)=

8

27

．
∴考生乙正確完成題數的概率分布列為：

η	0	1	2	3
p	1 27	6 27	12 27	8 27

…（8分）
Eη=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．…（9分）
（2）∵Dξ=(2-1)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，…（10分）
Dη=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

．…（11分）
（或Dη=npq=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

）．∴Dξ＜Dη．
∵P(ξ≥2)=

3

5

+

1

5

=0.8，P(η≥2)=

12

27

+

8

27

≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）．
從做對題數的數學期望考察，兩人水平相當；從做對題數的方差考察，甲較穩定；從至少完成2題的概率考察，甲獲得通過的可能性大．因此可以判斷甲的實驗操作能力較強．                              …（12分）

點評：本題主要考查概率和統計的綜合應用，利用概率公式分別計算出隨機變量的分布列，考查學生的運算能力．