Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當a＝2時，求（x）在x∈[1，e2]時的最值（參考數據：e2≈7.4）；

（Ⅱ）若，有f（x）＋g（x）≤0恒成立，求實數a的值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）max＝2ln2，；（Ⅱ）a＝1．

【解析】試題分析：

(1)利用導函數與原函數的單調性可得函數的最大值為f（x）max＝f（2）＝2ln2；

(2)構造新函數h（x）＝f（x）＋g（x）＝alnx－x＋1，利用函數的特征分類討論可得a＝1．

試題解析：

（Ⅰ）由于，∴．

因此，函數f（x）在[1，2]為增函數，在[2，e2]為減函數．

所以f（x）max＝f（2）＝2ln2．

．

（Ⅱ）令h（x）＝f（x）＋g（x）＝alnx－x＋1，則，

（1）當a≤0時，h（x）在（0，＋∞）上為減函數，而h（1）＝0，

∴h（x）≤0在區間x∈（0，＋∞）上不可能恒成立，因此a≤0不滿足條件．

（2）當a＞0時，h（x）在（0，a）上遞增，在（a，＋∞）上遞減，所以

h（x）max＝h（a）＝alna－a＋1．

由于h（x）≤0在x∈（0，＋∞）恒成立，則h（x）max≤0．即alna－a＋1≤0．

令g（a）＝alna－a＋1，（a＞0），則g'（a）＝lna，∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，＋∞）上遞增，∴g（a）min＝g（1）＝0，故a＝1．