Question

已知函數f(x)=

ax+b

x+1

的圖象經過原點，且關于點（-1，1）成中心對稱．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若數列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=1，an+1=[f(

an

)]2，求數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設數列{a_n}的前n項和為S_n，試判斷S_n與2的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）f（0）=0，可求b=0．所以f(x)=

ax

x+1

．由函數f(x)=

ax

x+1

=a-

a

x+1

圖象關于點（-1，1）成中心對稱，可求a
（2）因為an+1=[f(

an

)]2=(

an

an +1

)2，且a_n＞0，整理可得

1

an+1

-

1

an

=1．從而得到數列{

1

an

}是等差數列，可求
（3）由n≥2時，an=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，從而放縮結合裂項求和即可求

解答：解：（1）因為函數f(x)=

ax+b

x+1

的圖象經過原點，
所以f（0）=0，即b=0．所以f(x)=

ax

x+1

．
因為函數f(x)=

ax

x+1

=a-

a

x+1

的圖象關于點（-1，1）成中心對稱，
所以a=1．所以f(x)=

x

x+1

．
（2）因為an+1=[f(

an

)]2=(

an

an +1

)2，且a_n＞0，
所以

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=1+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=1．
所以數列{

1

an

}是首項為

1

an

=1，公差為1的等差數列．
所以

1

an

=1+(n-1)×1=n，所以an=

1

n2

（n∈N^*）．
（3）當n=1時，S₁=a₁=1＜2；
當n≥2時，an=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．
綜上所述，S_n＜2（n∈N^*）．

點評：本題以函數中由函數的性質求解函數解析式為載體，重點考查了利用構造特殊數列（等差、等比）求解數列的通項公式，及裂項求和，要注意放縮法在解題中的應用．