Question

已知偶函數f：Z→Z滿足f（1）=1，f（2011）≠1，對任意的a、b∈Z，都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，（注：max{x，y}表示x，y中較大的數），則f（2012）的可能值是______．

Answer 1

證明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}
f（2）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，
f（3）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，
f（4）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，
…，
f（2011）≤max{f（1），f（2010）}=1，即f（2011）≤1．
因為 f（2011）≠1，所以f（2011）＜1，
從而 f（2012）≤max{f（1），f（2011）}=1，即f（2012）≤1．
假設 f（2012）＜1，
因為 f（x）為偶函數，所以f（-2011）=f（2011）．
于是 f（1）=f≤max{f（2012，f（-2011）}=max{f（2012），f（2011）}＜1，
即 f（1）＜1．這與f（1）=1矛盾．
所以f（2012）＜1不成立，從而只有f（2012）=1．
故答案為：1．