Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
（2）試比較S_n與n³的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）取x=1，即可求得 a₀的值．對所給的等式兩邊求導，再取x=2，可得S_n的值．
（2）要比較S_n與n³的大小，即比較：3^n-1與n²的大小，當n=1，2時，3^n-1＜n²； 當n=3時，3^n-1=n²； 當n=4，5時，3^n-1＞n² ． 猜想：當n≥4時，3^n-1＞n²，再用數學歸納法證明．

解答：解：（1）取x=1，可得 a0=2n． …（1分）
對等式兩邊求導，得n(x+1)n-1=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+nan(x-1)n-1，
取x=2，則Sn=a1+2a2+3a3+…+nan=n•3n-1．       …（4分）
（2）要比較S_n與n³的大小，即比較：3^n-1與n²的大小，
當n=1，2時，3^n-1＜n²；  當n=3時，3^n-1=n²； 當n=4，5時，3^n-1＞n²． …（6分）
猜想：當n≥4時，3^n-1＞n²，下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，n=4時結論成立，
假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3^k-1＞k²，
當n=k+1時，3^（k+1）-1=3•3^k-1＞3k²．
而3k²-（k+1）²=2k²-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3^（k+1）-1＞3•3^k-1＞3k²＞（k+1）²，故當n=k+1時結論也成立，
∴當n≥4時，3^n-1＞n²成立．    …（11分）
綜上得，當n=1，2時，Sn＜n2； 當n=3時，Sn=n2；當n≥4，n∈N^*時，Sn＞n2．…（12分）

點評：本題主要考查二項式定理的應用，是給變量賦值的問題，關鍵是根據要求的結果，選擇合適的數值代入．還考查了數學歸納法的應用，屬于中檔題．