Question

設橢圓中心在坐標原點，A（2，O）是它的一個頂點，且長軸是短軸的2倍，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若橢圓的焦點在x軸，設直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于E、F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據A（2，O）是橢圓的一個頂點，結合橢圓的長軸是短軸的2倍，分橢圓的焦點在x軸上和橢圓的焦點在y軸上兩種情況，分別求出對應的a，b值，可得橢圓的標準方程；
（2）由（1）可得橢圓的標準方程，由題設可知|BO|和|AO|的值，設y₁=kx₁，y₂=kx₂，進而可表示出四邊形AEBF的面積進而根據基本不等式的性質求得最大值．

解答：解：（1）若橢圓的焦點在x軸上，由A（2，O）是它的一個頂點，
則a=2，
又∵橢圓的長軸是短軸的2倍，
故此時b=1
此時橢圓的標準方程為：

x2

4

+y2=1
若橢圓的焦點在y軸上，由A（2，O）是它的一個頂點，
則b=2，
又∵橢圓的長軸是短軸的2倍，
故此時a=4
此時橢圓的標準方程為：

x2

4

+

y2

16

=1
（2）由（1）得橢圓的標準方程為：

x2

4

+y2=1
則|BO|=1，|AO|=2．
設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂
=

(x2+2y2)2

=

2x22+4y22+4x2y2

≤

2(x22+4y22)

=2

2

，
當x₂=2y₂時，上式取等號．所以S的最大值為2

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大．