Question

【題目】如圖，已知A，B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸MN的A處和湖中小島的B處，點(diǎn)C在A的正西方向1 km處，tan∠BAN＝，∠BCN＝，.現(xiàn)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜連通A，B兩鎮(zhèn)，有兩種鋪設(shè)方案：①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在湖岸MN上選一點(diǎn)P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬(wàn)元km、4萬(wàn)元km.

（1）求A，B兩鎮(zhèn)間的距離；

（2）應(yīng)該如何鋪設(shè)，使總鋪設(shè)費(fèi)用最低？

Answer 1

【答案】（1）5km（2）點(diǎn)P選在A鎮(zhèn)的正西方向(4－) km處，總鋪設(shè)費(fèi)用最低

【解析】

（1）過(guò)B作MN的垂線，垂足為D，在Rt△ABD和Rt△BCD中利用正切的定義表示AD，CD，借助AC＝AD－CD構(gòu)建方程，求得BD，AD，進(jìn)而由勾股定理，得答案；

（2）方案①總費(fèi)用等于單價(jià)乘以長(zhǎng)度；方案②：設(shè)∠BPD＝θ，在Rt△BDP中利用正弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義用θ表示BP,AP長(zhǎng)度，進(jìn)而構(gòu)建總鋪設(shè)費(fèi)用的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，得此方案的最小值；最后比較方案①和方案②的費(fèi)用，確定答案.

（1） 如圖，過(guò)B作MN的垂線，垂足為D.

在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝＝，

所以AD＝BD.

在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，

所以CD＝BD.

則AC＝AD－CD＝BD－BD＝BD＝1，

所以BD＝3，則CD＝3，AD＝4.

由勾股定理得，AB＝＝5(km)．

所以A，B兩鎮(zhèn)間的距離為5km

（2） 方案①：沿線段AB在水下鋪設(shè)時(shí)，總鋪設(shè)費(fèi)用為5×4＝20(萬(wàn)元)

方案②：設(shè)∠BPD＝θ，則θ∈，其中θ0＝∠BAN.

在Rt△BDP中，DP＝，BP＝，

所以AP＝4－DP＝4－.

則總鋪設(shè)費(fèi)用為2AP＋4BP＝8－

設(shè)f(θ)＝，則f′(θ)＝，

令f′(θ)＝0，得即θ＝，列表如下：

θ
f′(θ)	－	0	＋
f(θ)	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以f(θ)的最小值為.

所以方案②的總鋪設(shè)費(fèi)用最低為 (萬(wàn)元)，此時(shí)AP＝4－.

而，所以應(yīng)選擇方案②進(jìn)行鋪設(shè)，點(diǎn)P選在A鎮(zhèn)的正西方向(4－) km處，總鋪設(shè)費(fèi)用最低．