Question

設函數滿足f（x）+f（-x）=0，且f（x）在[-2，2]是減函數，f（2）=-1，若函數f（x）≤t²+2ta+1對所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]時，則t的取值范圍是

（-∞，-2）∪（2，∞）

．

Answer 1

分析：根據f（x）+f（-x）=0，f（2）=-1，確定f（x）的取值范圍；函數f（x）≤t²+2ta+1對所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]等價于t²+2ta+1≥1，即t²+2ta≥0，構建一次函數g（a）=2ta+t²，從而可建立不等式，進而可求t的取值范圍．

解答：解：因為f（x）+f（-x）=0，所以f（x）為奇函數，
∵f（2）=-1，∴f（-2）=1．
∴f（x）的取值范圍為[-1，1]．   
∵函數f（x）≤t²+2ta+1對所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]
∴t²+2ta+1對要大于等于f（x） 的最大值即為t²+2ta+1≥1
∴t²+2ta≥0
令g（a）=2ta+t²，則

g(-1)≥0 g(1)≥0

，即

-2t+t2≥0 2t+t2≥0

∴t≥2或t≤-2
∴t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，∞）
故答案為：（-∞，-2）∪（2，∞）

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是轉化為t²+2ta+1對要大于等于f（x） 的最大值，屬于中檔題．