Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上分別為左、右焦點，橢圓的一個頂點與兩焦點構成等邊三角形，且．

（1）求橢圓方程；

（2）對于x軸上的某一點T，過T作不與坐標軸平行的直線L交橢圓于兩點，若存在x軸上的點S，使得對符合條件的L恒有成立，我們稱S為T的一個配對點，當T為左焦點時，求T的配對點的坐標；

（3）在（2）條件下討論當T在何處時，存在有配對點？

Answer 1

【答案】（1）（2）（-4，0）（3）

【解析】

（1）設橢圓的頂點為P,由可得,由結合橢圓的定義可得2a,結合可求橢圓的方程

（2）可設過T的直線方程為,,聯立橢圓方程整理可得,設,,,由得即,結合方程的根與系數的關系代入可求a

（3）設,直線的方程,,使得對符合條件的L恒有成立,則T必須在之間即

同（2）的整理方法,聯立直線與橢圓方程由可得,,同（2）的方法一樣代入可求

解：（1）設橢圓的頂點為P,由可得

可得

,

橢圓的方程為：

（2）,

則過可設過T的直線方程為,,

聯立橢圓方程整理可得

設,,,則,

整理可得

即

（3）設,直線的方程,

使得對符合條件的L恒有成立,則T必須在之間即

同（2）的整理方法,聯立直線與橢圓方程可得,,

由可得,

同（2）的方法一樣代入可求.