Question

對任意x∈[1，+∞），不等式x²+2x-a＞0恒成立，則a的取值范圍是

（-∞，3）

．

Answer 1

分析：將不等式x²+2x-a＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為a＜x²+2x（x≥1）恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+2x（x≥1），求得f（x）_min即可．

解答：解：∵對任意x∈[1，+∞），不等式x²+2x-a＞0恒成立，
∴a＜x²+2x（x≥1）恒成立，
∴a＜f（x）_min；
令f（x）=x²+2x（x≥1），
∵f（x）=x²+2x的對稱軸為x=-1，
∴f（x）=x²+2x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時，f（x）_min=f（1）=3．
∴a＜3，
∴a的取值范圍是（-∞，3）．
故答案為：（-∞，3）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的值域，著重考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造與轉(zhuǎn)化思想，求得f（x）_min是關(guān)鍵，屬于中檔題．