Question

【題目】已知函數的導函數為.

（1）若對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若函數的極值為正數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由對任意恒成立，求出代入分離參數，將問題轉化為，由二次函數的最值可得a的取值范圍；

（2）由函數的極值為正數，則有正根，將問題轉化為二次函數有正根問題，對a進行分類討論，可得當時，方程有兩個不等實根，且異號，設，，可得出是函數在上的唯一極值點且是極大值點，再利用函數與方程思想可得，又得實數的取值范圍.

（1），

對任意恒成立，即.

.

，當時有最小值-1，

，.

（2）.

①當時，，在上遞增，

此時無極值；

②當時，設方程，.

方程有兩個不等實根，，

，，一正一負，

設，，結合函數的圖象可知，

當時，；當時，，

在上遞增，在上遞減，是函數在上的唯一極值點且是極大值點.

.

令，易知在上遞增，又，

時，，.

，

.

.