Question

設函數f(x)的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，則稱函數f(x)為M上的l高調函數．現給出下列命題：

①函數f(x)＝x是R上的1高調函數；

②函數f(x)＝sin 2x為R上的π高調函數；

③如果定義域為[－1，＋∞)的函數f(x)＝x2為[－1，＋∞)上的m高調函數，那么實數m的取值范圍是[2，＋∞)．

其中正確的命題是________．(寫出所有正確命題的序號)

 

Answer 1

②，③

【解析】對于①，∵x∈R，∴x＋1∈R.

又f(x)＝x在R上是減函數，

∴x＋1＜x，即f(x＋1)＜f(x)．∴①錯．

對于②，∵x∈R，∴x＋π∈R.

∴f(x＋π)＝sin 2(x＋π)＝sin 2x＝f(x)．∴②正確．

對于③，∵f(x)＝x2為[－1，＋∞)上的m高調函數，

∴f(x＋m)≥f(x)即(x＋m)2≥x2，

∴2mx＋m2≥0對于x∈[－1，＋∞)恒成立．

∴或.∴m≥2，即③正確．

∴正確命題是②，③