Question

已知函數f(x)=

ax+2

x+b

，a，b∈R，若函數f（x）圖象經點（0，2），且圖象關于點（-1，1）成中心對稱．
（1）求實數a，b的值；
（2）若數列{a_n}滿足：a1=2，an+1=

2

f(an)-1

(n≥1，n∈N*)，求數列{a_n}的通項公式；
（3）數列{b_n}滿足：b_n=n（a_n+2），數列{b_n}的前項的和為S_n，若

Sn

(n-1)•2n

≤m，（n≥2）恒成立，求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據圖象經點（0，2），求出b的值；再結合圖象關于點（-1，1）成中心對稱求出a的值即可；
（2）先根據第一問的結果求出遞推關系式，再整理得到數列{a_n+2}為等比數列進而求出結論；
（3）先你根據錯位相減法求出S_n，進而求出

sn

(n-1)•2n

的范圍，即可求出結論．

解答：解：（1）因為函數f（x）圖象經點（0，2），
∴f（0）=2⇒

2

b

=2⇒b=1；…2分
∵圖象關于點（-1，1）成中心對稱
∴f（0）+f（-2）=2，
∴f（-2）=0⇒

-2a+2

-2+1

=0⇒a=1；
∴f（x）=

x+2

x+1

．…..4分
（2）∵a_n+1=

2

an+2 an+1 -1

=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2）
∴{a_n+2}為等比數列⇒a_n+2=（a₁+2）•2^n-1
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2；…8分
（3）∵b_n=n（a_n+2）=n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；
2S_n=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；
-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²=（1-n）2ⁿ⁺²-4；
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4
∴

sn

(n-1)•2n

=4+

4

(n-1)•2n

≤5；
∴m的最小值為5…..13分．

點評：本題主要考察數列與函數的綜合．其中涉及到函數f（X）關于一個點（M，N）成中心對稱，則有f（2M-x）+f（x）=2N或f（M-x）+f（M+x）=2N這一結論的運用．