（本題滿分14分）
已知數列
滿足
（Ⅰ）證明：數列
為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項
以及前n項和
；
（Ⅲ）如果對任意的正整數
都有
求
的取值范圍。
（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
，
（Ⅲ）
解析試題分析：（Ⅰ）證明：由
得
所以數列為等比數列且首項為2，公比為2. …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
所以
利用分組求和可得：
…9分
（Ⅲ）由
，得
（10分）
令
則 
當
時
,當
時
綜合，得：當
時，
)
,即時，
,
所以
為單調遞增數列，故
，即所求的取值范圍是 . …14分
考點：本小題主要考查等比數列的證明、構造新數列、用函數的觀點考查數列的單調性、恒成立問題求參數的值以及數列中的基本計算問題，考查學生分析問題、解決問題的能力和轉化思想的應用.
點評：要證明等差或等比數列，只能用定義或等差、等比數列的中項，恒成立問題一般轉化為求最值問題解決，而數列是一種特殊的函數，可以用函數的觀點考查數列的單調性進而求最值.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設二次函數
，對任意實數
，
恒成立；正數數列
滿足
.
（1）求函數
的解析式和值域；
（2）試寫出一個區間
，使得當
時，數列在這個區間上是遞增數列，并說明理由；
（3）若已知
，求證：數列
是等比數列
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的首項為
，
時，
，數列
對任意
均有
，數列
滿足
，記數列
項和為
，求證
.
的前
項和為
，
，
，等差數列
滿足
，
，
恒成立，求實數
的取值范圍．
的首項
，
，
…．
是等比數列；
的前
項和
．
的前
項和為
，求
滿足
，
（
）.
滿足
（
（
，則有（ ）
}的前n項和
，
|}的前n項和
．