Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明直線l恒過定點；
（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m=0時，求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）把已知直線l的方程變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直線l必過直線2x+y-7=0與直線x+y+4=0的交點，故聯(lián)立兩直線的方程組成方程組，求出方程組的解，得到交點坐標(biāo)為（3，1），故不論m取什么實數(shù)，直線l恒過定點（A3，1），得證；
（2）由A到圓心的距離d小于圓的半徑，判斷得到點A在圓內(nèi)，則直線經(jīng)過園內(nèi)的點，從而可判斷直線與圓相交
（3）此時直線x+y-4=0，先求出圓心到該直線的距離d，然后根據(jù)公式d2+(

l

2

)2=r2可求弦的長度l

解答：解：（1）∵直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
可以改寫為m（2x+y-7）+x+y-4=0
∴直線必經(jīng)過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點，
由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，即兩直線的交點為A（3，1）
則不論m取什么實數(shù)，直線l恒過定點（3，1）
（2）∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
∴圓心C（1，2），半徑r=4，
∵點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離

5

＜4，
∴A點在C內(nèi)，直線與圓相交
（3）當(dāng)m=0時，直線方程為x+y-4=0
圓心（1，2）到直線x+y-4=0的距離d=

|1+2-4|

2

=

2

2

，半徑r=4
∴(

l

2

)2=r2-d2=16-

1

2

=

31

2

∴l=

62

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及恒過定點的方程，涉及的知識有：點與圓位置的判斷，兩點間的距離公式，兩直線的交點坐標(biāo)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，把直線l的方程適當(dāng)變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0是解第一問的關(guān)鍵