Question

已知

a

=(cosx，cosx+sinx)，

b

=(2sinx，cosx-sinx)，設(shè)f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù) f(x)=

a

•

b

的解析式為

2

sin（2x+

π

4

），由此求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，可得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，由此求得函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

解答：解：（1）函數(shù) f(x)=

a

•

b

=2sinxcosx+（cosx+sinx）（cosx-sinx）=2sinxcosx+cos²x-sin²x 
=sin2x=cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
故函數(shù)f（x）的最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，故當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為

2

，當(dāng) 2x+

π

4

=

5π

4

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的定義域和值域、周期性，屬于中檔題．