Question

某市物價局調查了某種治療H1N1流感的常規藥品在2009年每個月的批發價格和該藥品在藥店的銷售價格，調查發現，該藥品的批發價格按月份以12元/盒為中心價隨某一正弦曲線上下波動，且3月份的批發價格最高為14元/盒，7月份的批發價格最低為10元/盒．該藥品在藥店的銷售價格按月份以14元/盒為中心價隨另一正弦曲線上下波動，且5月份的銷售價格最高為16元/盒，9月份的銷售價格最低為12元/盒．
（Ⅰ）求該藥品每盒的批發價格f（x）和銷售價格g（x）關于月份x的函數解析式；
（Ⅱ）假設某藥店每月初都購進這種藥品p盒，且當月售完，求該藥店在2009年哪些月份是盈利的？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁），根據價格最高和最低可求得振幅A₁，根據月份求得周期，進而可求得ω，把x=3代入函數式求得φ，則函數f（x）的解析式可得，同樣的道理可求得該藥品每件的銷售價格函數解析式．
（2）設該藥店第x月購進這種藥品p盒所獲利潤為y元，則根據y=p[g（x）-f（x）]把（1）中求得f（x）和g（x）代入整理，根據y＞0，求得x的范圍，進而根據x∈N^*，推斷x的值．

解答：解：（1）設f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+b₁，由已知，b₁=12，A₁=

14-10

2

=2．
又周期T₁=2（7-3）=8，則ω=

2π

T

=

π

4

，從而f（x）=2sin（

π

4

x+φ₁）+12
因為f（3）=14，則2sin（

3π

4

+φ₁）+12=14，即sin（

3π

4

+φ₁）=1，可取φ₁=-

π

4

故該商品每件的批發價函數解析式為f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+12
同理，該藥品每件的銷售價格函數解析式為g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14．
（2）設該藥店第x月購進這種藥品p盒所獲利潤為y元，則
y=p[g（x）-f（x）]=p[2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14-2sin（

π

4

x-

π

4

）-12=2p（1-

2

sin

π

4

x）
由y＞0，得1-

2

sin

π

4

x＞0，即sin

π

4

x＜

2

2

，所以2kπ+

3π

4

＜

π

4

x＜2kπ+

9π

4

，k∈Z．
即8k+3＜x＜8k+9，k∈Z
∵x≤12且x∈N^*，則x=4，5，6，7，8，12．
故該藥店在2009年4月，5月，6月，7月，8月，12月是盈利的．

點評：本題主要考查了三角函數在實際中的應用．涉及了函數的周期性問題．綜合性很強．