Question

（理）已知函數(shù)f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

若滿(mǎn)足地f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是

 

．
（文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）同時(shí)滿(mǎn)足

0≤ OP • OM ≤1 0≤ OP • ON ≤1

則z=x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：（理）畫(huà)出函數(shù)f（x）=f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，結(jié)合圖象求出a+b+c的范圍即可．
（文）利用向量的數(shù)量積求出x，y的約束條件，畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形得到z的幾何意義，畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合求出最值．

解答：解：（理）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
不妨設(shè)a＜b＜c，則a+b=1，c∈（1，2011）
a+b+c=1+c∈（2，2012）
故答案為：（2，2012）．
（文）：

OP

•

OM

=x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y
據(jù)題意得

0≤x+ 1 2 y≤1 0≤y≤1

畫(huà)出可行域
將z=x+y變形為y=-x+z畫(huà)出相應(yīng)的直線(xiàn)，將直線(xiàn)平移至可行域中的點(diǎn)（

1

2

，1）時(shí)，縱截距最大，z最大將（

1

2

，1）代入z=x+y得到z的最大值

3

2

故答案為

3

2

點(diǎn)評(píng)：（1）本小題主要考查分段函數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力．解答的關(guān)鍵是圖象法的應(yīng)用，即利用函數(shù)的圖象交點(diǎn)研究方程的根的問(wèn)題．
（2）本題考查向量的數(shù)量積公式、畫(huà)出不等式組的可行域、給目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義、數(shù)形結(jié)合求最值．