Question

設函數．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調區間；
（3）在（2）的條件下，設函數，若對于 [1，2]， [0，1]，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）單調增區間為;單調減區間為；（3）b的取值范圍是

解析試題分析：(1)由函數當時，首先求出函數的定義域.再通過求導再求出導函數當時的導函數的的值即為切線的斜率.又因為過點則可求出在的切線方程.本小題主要考查對數的求導問題.
（2）當時通過求導即可得，再求出導函數的值為零時的x值.由于定義域是x大于零.所以可以根據導函數的正負值判斷函數的單調性.
（3）由于在（2）的條件下，設函數，若對于 [1，2]， [0，1]，使成立.等價于在上的最小值要大于或等于在上的最小值.由于是遞增的所以易求出最小值.再對中的b進行討論從而得到要求的結論.
試題解析：函數的定義域為，                      1分
                                 2分
（1）當時，，，       3分
，
，                                           4分
在處的切線方程為.                    5分
(2) .
當,或時, ;                             6分
當時, .                                        7分
當時，函數的單調增區間為;單調減區間為.   8分
(如果把單調減區間寫為,該步驟不得分)
（3）當時，由（2）可知函數在上為增函數，
∴函數在[1，2]上的最小值為              9分
若對于[1，2]，≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）