Question

已知直線方程為（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．
（1）證明：直線恒過定點；
（2）m為何值時，點Q（3，4）到直線的距離最大，最大值為多少？
（3）若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A．B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

分析：（1）證明：利用直線是直線系求出直線恒過定點，即可；
（2）點Q（3，4）到直線的距離最大，轉化為兩點間的距離，求出距離就是最大值．
（3）若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A．B兩點，設出直線的方程，求出A，B，然后求出△AOB面積，利用基本不等式求出的最小值及此時直線的方程．

解答：（1）證明：直線方程為（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，可化為（2x+y+4）+m（-x+2y+3）=0，對任意m都成立，所以

-x+2y+3=0 2x+y+4=0

，解得

x=-1 y=-2

，所以直線恒過定點（-1，-2）；
（2）解：點Q（3，4）到直線的距離最大，
可知點Q與定點（-1，-2）的連線的距離就是所求最大值，
即

(3+1)3+(4+2)2

=2

13

．
（3）解：若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A．B兩點，直線方程為y+2=k（x+1），k＜0，
則A（

2

k

-1，0），B（0，k-2），
S_△AOB=

1

2

|

2

k

-1||k-2|=

1

2

(

2

k

-1)(k-2)=2+(

2

-k

+

-k

2

)≥2+2=4，當且僅當k=-2時取等號，面積的最小值為4．
此時直線的方程為2x+y+4=0．

點評：本題是基礎題，考查直線系過定點，零點的距離公式，基本不等式的應用，考查計算能力，轉化思想．