Question

(本小題滿分14分)

已知橢圓G與雙曲線有相同的焦點，且過點．

(1)求橢圓G的方程；

(2)設、是橢圓G的左焦點和右焦點，過的直線與橢圓G相交于A、B兩點，請問的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：(1)雙曲線的焦點坐標為，所以橢圓的焦點坐標為………………1分

設橢圓的長軸長為，則，即，

又，所以   ∴橢圓G的方程………………5分

(2)如圖,設內切圓M的半徑為,與直線的切點為C，則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.

即

當最大時,也最大, 內切圓的面積也最大,  ………………7分

設、(),則,

由,得,………………9分

解得,,

∴,令,則,且,

有,令,則,……………11分

當時,,在上單調遞增,有,,

即當,時,有最大值,得,這時所求內切圓的面積為,……………12分

∴存在直線,的內切圓M的面積最大值為. ………………13分