Question

已知函f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
①討論f（x）的單調性；
②設a＞0，證明：當0＜x＜

1

a

時，f(

1

a

+x)＞f(

1

a

-x)；
③函數y=f（x）的圖象與x軸相交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，證明f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：①求出函數f（x）的定義域，然后在定義域內分a＞0，a≤0兩種情況解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數的單調區間；
②設函數g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），只需證明g（x）＞0即可，進而轉化為利用導數求函數的最值；
③由①易判斷a≤0時不滿足條件，只需考慮a＞0時情形，由①可得f（x）的最大值為f（

1

a

），且f（

1

a

）＞0，設A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜

1

a

＜x₂，由②可推得f（

2

a

-x₁）＞f（x₁）=f（x₂）=0，借助函數單調性可得結論；

解答：解：①函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f'（x）=

1

x

-2ax+（2-a）=-

(2x+1)(ax-1)

x

，
（i）當a＞0時，則由f'（x）=0，得x=

1

a

，
當x∈（0，

1

a

）時，f'（x）＞0，當x∈（

1

a

，+∞）時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

a

）單調遞增，在（

1

a

，+∞）上單調遞減；
（ii）當a≤0時，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；
②設函數g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），
則g（x）=[ln（

1

a

+x）-a（

1

a

+x）²+（2-a）（

1

a

+x）]-[ln（

1

a

-x）-a（

1

a

-x）²+（2-a）（

1

a

-x）]=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g'（x）=

a

1+ax

+

a

1-ax

-2a=

2a3x2

1-a2x2

，
當x∈（0，

1

a

）時，g'（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，
故當0＜x＜

1

a

時，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）；
③由①可得，當a≤0時，函數y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，
故a＞0，從而f（x）的最大值為f（

1

a

），且f（

1

a

）＞0，
不妨設A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜

1

a

＜x₂，
由②得，f（

2

a

-x₁）=f（

1

a

+

1

a

-x₁）＞f（x₁）=f（x₂）=0，
又f（x）在（

1

a

，+∞）上單調遞減，
∴

2

a

-x₁＜x₂，于是x₀=

x1+x2

2

＞

1

a

，
由①知，f'（ x₀）＜0．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值及不等式的證明問題，考查分類討論思想，本題綜合性較強，難度較大，對能力要求較高．