Question

函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意實數x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知當x∈[1，2]時，f（x）=log_ax．
（1）求x∈[-1，1]時，函數f（x）的表達式．
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，函數f（x）的表達式．
（3）若函數f（x）的最大值為

1

2

，在區間[-1，3]上，解關于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函數是以2為周期的周期函數，又由函數f（x）是定義在R上的偶函數，結合當x∈[1，2]時，f（x）=log_ax，我們易得，x∈[-1，1]時，函數f（x）的表達式；
（2）由函數的周期性，我們易得函數的解析式；
（3）由于f（x）=log_ax的底數不確定，故我們要對底數進行分類討論，進而求出滿足條件的a值，易將不等式轉化為一個對數不等式，根據對數函數的單調性，我們易求出滿足條件的不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x+1）=f（x-1），且f（x）是R上的偶函數
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）=

loga(2+x)，x∈[-1，0] loga(2-x)，x∈(0，1]

（2）當x∈[2k-1，2k]時，f（x）=f（x-2k）=log_a（2+x-2k），
同理，當x∈（2k，2k+1]時，f（x）=f（x-2k）=log_a（2-x+2k），
∴f（x）=

loga(2+x-2k)，x∈[2k-1，2k] loga(2-x+2k)，x∈(2k，2k+1]

（3）由于函數是以2為周期的周期函數，故只需要考查區間[-1，1]
當a＞1時，由函數f（x）的最大值為

1

2

，知f（0）=f（x）_max=log_a2=

1

2

，即a=4
當0＜a＜1時，則當x=±1時，函數f（x）取最大值為

1

2

即log_a（2-1）=

1

2

，舍去
綜上所述a=4
當x∈[-1，1]時，若x∈[-1，0]，則log₄（2+x）＞

1

4

∴

2

-2＜x≤0
若x∈（0，1]，則log₄（2-x）＞

1

4

∴0＜x＜2-

2

∴此時滿足不等式的解集為（

2

-2，2-

2

）
∵函數是以2為周期的周期函數，
∴在區間[-1，3]上，f(x)＞

1

4

的解集為（

2

，4-

2

）
綜上所得不等式的解集為（

2

-2，2-

2

）∪（

2

，4-

2

）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合應用，函數的周期性，其中當對數函數的底數不確定時，對a進行分類討論是對數函數常用的處理的方法．