Question

【題目】若數列： ， ，…， （）中（）且對任意的

恒成立，則稱數列為“數列”．

（Ⅰ）若數列， ， ， 為“數列”，寫出所有可能的， ；

（Ⅱ）若“數列”： ， ，…， 中， ， ，求的最大值；

（Ⅲ）設為給定的偶數，對所有可能的“數列”： ， ，…， ，

記，其中表示， ，…， 這個數中最大的數，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ， 或 （2）最大值為（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）直接根據“數列”的定義，討論列舉法即可求出， ；（Ⅱ） 可得，解得： ，故，另外，任意的， ，故數列為“數列”，此時，即符合題意；（Ⅲ）利用放縮法，即可得結論.

試題解析：：（Ⅰ） ， 或

（Ⅱ）的最大值為，理由如下

一方面，注意到：

對任意的，令，則且（），故對任意的恒成立．

當， 時，注意到，得

（）

此時

即，解得： ，故 另一方面，取（），則對任意的， ，故數列為“數列”，此時，即符合題意．

綜上， 的最大值為65．

（Ⅲ）的最小值為，證明如下：

當（， ）時，

一方面：

由（★）式， ，

．

此時有：

故

另一方面，當， ，…， ， ， ，…， 時，

取，則， ， ，且

此時．

綜上， 的最小值為．