Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD⊥AB，垂足為D，點P在BA的延長線上，且PC是圓O的切線．
（1）求證：∠PCD=∠POC；
（2）若OD：DA=1：2，PA=8，求圓的半徑的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質發現直角OCP，再根據等角的余角相等進行證明；
（2）根據OD：DA=1：2，設OD=x，DA=2x，根據直角三角形的射影定理列方程求解．

解答：解：（1）∵PC是圓O的切線，
∴OC⊥PC．
又CD⊥AB，
∴∠PCD=∠POC．
（2）設OD=x，DA=2x，
根據兩個角對應相等得到△PCO∽△CDO，
則OC²=OD•OP，即9x²=x（8+3x），
解得x=

4

3

或x=0（不合題意，應舍去），
則圓的半徑是x=

4

3

．

點評：考查了切線的性質定理和直角三角形的射影定理．本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．