Question

點(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，1）的直線與Q點(diǎn)軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意點(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點(diǎn)，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)的關(guān)系，用中點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再代入圓的方程求出點(diǎn)Q的軌跡方程
（2）由（1）點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓，由于點(diǎn)（-1，1）在橢圓的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)（-1，1）的直線與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故可得k∈R

解答：解：由題意，令Q（x，y），P（s，t），
由于點(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點(diǎn)
∴s=x，t=2y，又點(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
∴x²+4y²=16，即為點(diǎn)Q的軌跡方程
（2）由（1）點(diǎn)Q的軌跡是橢圓

x2

16

+

y2

4

=1
由于點(diǎn)（-1，1）一定在橢圓內(nèi)，故過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的直線一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)
所以此直線的斜率的取值范圍是R

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵點(diǎn)有二，一是熟練掌握代入法求軌跡方程，二是確定點(diǎn)（-1，1）在橢圓的內(nèi)部，從而判斷出直線斜率的取值范圍，本題考查了推理判斷的能力及代入法求軌跡方程技巧．