Question

已知函數f(x)=

3

sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是實數常數）的圖象上的一個最高點(

π

6

，1)，與該最高點最近的一個最低點是(

2π

3

，-3)，
（1）求函數f（x）的解析式及其單調增區間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且

AB

•

BC

=-

1

2

ac，角A的取值范圍是區間M，當x∈M時，試求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+c，再依題意可求得c及ω，從而可得函數f（x）的解析式，繼而利用正弦函數的單調性可求其單調增區間；
（2）利用向量的數量積與誘導公式可求得cosB=

1

2

，又0＜B＜π，于是知B=

π

3

，從而知M=（0，

2π

3

），利用正弦函數的單調性與最值即可求得函數f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sinωx+cosωx+c
=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）+c
=2sin（ωx+

π

6

）+c，
∴f（x）_max=2+c=1，f（x）_min=-2+c=-3，
∴c=-1；
又

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函數f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）依題意，

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos＜

AB

，

BC

＞=ca•cos（π-B）=-

1

2

ac，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
∴A∈（0，

2π

3

），即M=（0，

2π

3

）；
∴當x∈（0，

2π

3

）時，2x+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），
∴sin（2x+

π

6

）∈（-1，1]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1∈（-3，1]．
即函數f（x）的取值范圍為（-3，1]．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換，考查向量的數量積與誘導公式，突出考查正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．