Question

設二次函數f（x）=mx²+nx+t的圖象過原點，g（x）=ax³+bx﹣3（x＞0），f（x），g（x）的導函數為f′（x），g′（x），且f′（0）=0，f′（﹣1）=﹣2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的極小值；
（3）是否存在實常數k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，
則f′（0）=n=0，f′（﹣1）=﹣2m+n=﹣2，從而n=0，m=1，
∴f（x）=x²f′（x）=2x，g′（x）=3ax²+b．
由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），得a+b﹣3=1，3a+b=2，解得a=﹣1，b=5．
∴g（x）=﹣x³+5x﹣3（x＞0）．
（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=x³+x²﹣5x+3（x＞0），
求導數得F′（x）=3x²+2x﹣5=（x﹣1）（3x+5）．
∴F（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，
從而F（x）的極小值為F（1）=0．
（3）因f（x）與g（x）有一個公共點（1，1），
而函數f（x）在點（1，1）的切線方程為y=2x﹣1．下面驗證 都成立即可．
由x²﹣2x+1≥0，得x²≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．
設h（x）=﹣x³+5x﹣3﹣（2x﹣1），即h（x）=﹣x³+3x﹣2（x＞0），
求導數得h′（x）=﹣3x²+3=﹣3（x﹣1）（x+1）（x＞0），
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
所以h（x）=﹣x³+5x﹣3﹣（2x﹣1）的最大值為h（1）=0，
所以﹣x³+5x﹣3≤2x﹣1恒成立．
故存在這樣的實常數k和m，且k=2，m=﹣1．