Question

數學單選題，每個題都有4個選項，其中只有一個是正確的．一次數學測驗中，共出12道選擇題，每題5分．同學甲和乙都會做其中的9道題，另外3道題，甲只能隨意猜；乙有兩道題各能排除一個錯誤選項，另一題能排除兩個錯誤選項．求：
（1）同學甲和乙選擇題都得55分的概率；
（2）就選擇題而言，乙比甲多得10分的概率．

Answer 1

分析：（1）同學甲和乙選擇題都得55分即不會做的三道題兩人都做對了2道，先利用獨立重復試驗的概率公式計算甲猜對2個題的概率，再由獨立事件同時發生的概率計算乙猜對2個題的概率，最后兩個事件同時發生，概率相乘即可
（2）乙比甲多得10分包含兩個互斥事件：不會的3個題目乙對2道，甲對0道；不會的3個題目乙對3道，甲對1道，分別按照與（1）類似的方法計算概率，最后求和即可

解答：解：（1）甲乙都得55分，就是二人各猜對2個題．
甲猜對2個題的概率為

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

乙猜對2個題的概率為(

1

3

)2×(1-

1

2

)+

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)×

1

2

=

5

18

二人各猜對2個題的概率為P₁=

9

64

×

5

18

=

5

128

；
（2）不會的3個題目，解答情況如下：
乙對2道，甲對0道的概率為[(

1

3

)2×(1-

1

2

)+

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)×

1

2

]×(1-

1

4

)3=

15

128

乙對3道，甲對1道的概率為(

1

3

)2×

1

2

×

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2=

1

32

所以，乙比甲多得10分的概率P2=

15

128

+

1

32

=

19

128

．

點評：本題考查了獨立事件同時發生的概率計算，獨立重復試驗的概率計算，互斥事件發生的概率計算