Question

函數y=f（x）在區間（0，+∞）內可導．導函數f^′（x）是減函數，且f^′（x）＞0，x₀∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線方程．
（1）用x₀，f（x₀），f^′（x₀）表示m；
（2）證明：當x∈（0，+∞）時，g（x）≥f（x）；
（3）若關于x的不等式x2+1≥ax+b≥

3

2

x

2

3

在（0，+∞）上恒成立，其中a，b為實數，求b的取值范圍及a，b所滿足的關系．

Answer 1

（1）y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（2）證明：令h（x）=g（x）-f（x），則h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因為f'（x）遞減，所以h'（x）遞增，因此，當x＞x₀時，h'（x）＞0；
當x＜x₀時，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的極值點，且是極小值點，
可知h（x）的最小值為0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
（3）把ax移到兩邊得x2+1-ax≥b≥

3

2

x

2

3

-ax
令y₁=x²+1-ax，y2=

3

2

x

2

3

-ax則

y

/2

=x-

1

3

-a
①

a

2

＜0時，（y₁）_min=1，（y₂）_max=0，∴1≥b≥0
②

a

2

≥0時，(y1)min=1-

a2

4

，(y2)max=

1

2a2

，
∴1-

a2

4

≥b≥

1

2a2