Question

設f（x）是定義在R上的函數，對m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）•f（n），且當 x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；                    
（2）證明：x∈R時，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）在R上是減函數；     
（4）若f（x）f（2-x）＞1，求x的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知等式，取m=0得f（n）=f（0）•f（n），從而得到f（0）=1；
（2）令m=-n，結合（1）的結論，推得f（x）與f（-x）互為倒數，結合當x＞0時，0＜f（x）＜1，利用不等式的倒數法則，結合f（0）=1可證出x∈R時恒有f（x）＞0；
（3）設x₁＞x₂，根據題中等式證出f（x₁）=f（x₂）•f（x₁-x₂）．再根據當x∈R時，恒有f（x）＞0，利用作商法可得f（x₁）＜f（x₂），進而根據函數單調性的定義得到f（x）在R上是減函數；
（4）根據（1）和（3）的結論，將不等式f（x）f（2-x）＞1轉化成f[x（2-x）]＞f（0），再由函數的單調性，解關于x的二次不等式，即可得到所求x的取值范圍．

解答：解：（1）∵對任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
∴令m=0，可得f（n）=f（0）•f（n），
由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值為1；
（2）由（1）中結論，令m=-n
則f（0）=f（-n+n）=f（-n）•f（n）=1，可得f（-n）=

1

f(n)

因此，f（x）與f（-x）互為倒數，
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，∴當x＜0時，0＜

1

f(x)

＜1，即f（x）＞1，
又∵x=0時，f（0）=1
∴當x∈R時恒有f（x）＞0；
（3）設x₁＞x₂，可得
f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）•f（x₁-x₂）
由（2）知當x∈R時，恒有f（x）＞0，
根據

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1，可得0＜f（x₁）＜f（x₂）
因此，f（x）在R上是減函數；
（4）∵f（x）f（2-x）=f[x（2-x）]，f（0）=1，
∴不等式f（x）f（2-x）＞1，即f[x（2-x）]＞f（0），
∵f（x）在R上是減函數，∴x（2-x）＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范圍為（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評：本題給出抽象函數，證明函數的單調性并求關于x的不等式的解集，著重考查了函數的單調性、分式不等式的解法和抽象函數的理解等知識點，屬于中檔題．