Question

直線y=1-x交拋物線y²=2px（p＞0）于M，N兩點，向量

OM

+

ON

與弦MN交于點E，若E點的橫坐標為

3

2

，則p的值為（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由

y=1-x y2=2px(p＞0)

⇒x²-（2+2p）x+1=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的兩根，由

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂），E點的橫坐標為

3

2

可求得

x1+x2

2

=

3

2

，利用韋達定理即可求得p的值．

解答：解：∵直線y=1-x交拋物線y²=2px（p＞0）于M，N兩點，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=1-x y2=2px(p＞0)

得x²-（2+2p）x+1=0，則x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的兩根，
由韋達定理得：x₁+x₂=2+2p①；
又∵向量

OM

+

ON

與弦MN交于點E，
∴

OM

+

ON

=2

OE

，而

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂），E點的橫坐標為

3

2

，
∴

x1+x2

2

=

3

2

，即x₁+x₂=3②
由①②得：2+2p=3，解得p=

1

2

．
故選D．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解決的關鍵在于聯立方程，利用韋達定理，與條件“向量

OM

+

ON

與弦MN交于點E，若E點的橫坐標為

3

2

”結合來解決問題，屬于難題．