Question

已知直線l分別與x軸、y軸交于A（a，0），B（0，b）點，且和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，（其中a＞2，b＞2）．
（1）求a，b應滿足什么條件；      
（2）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，圓C：x²+y²-2x-2y+1=0化為標準方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，根據直線和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得出結論；
（2）由（1），結合兩點間的距離公式，利用基本不等式，求線段AB長度的最小值．

解答：解：（1）由題意，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，
圓C：x²+y²-2x-2y+1=0化為標準方程為：（x-1）²+（y-1）²=1．
∵直線和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，
∴

| 1 a + 1 b -1|

1 a2 + 1 b2

=1，
化簡可得ab-2a-2b+2=0；
（2）ab-2a-2b+2=0可化為（a-2）（b-2）=2，
設a-2=m，b-2=n，則a=2+m，b=2+n，m＞0，n＞0，mn=2．
|AB|=

a2+b2

=

(2+m)2+(2+n)2

=

8+m2+n2+4(m+n)

≥

8+2mm+8 mn

=

12+8 2

=2+2

2

，
當且僅當m=n時，取等號，此時線段AB長度的最小值為2+2

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用基本不等式是關鍵．