Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，O分別為CC₁和BD的中點．
（Ⅰ）求證：A₁O⊥平面MBD；
（Ⅱ）求二面角A₁-DM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以點D為坐標原點，DA，DC方向分別是x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，設正方體棱長為2，根據向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得A₁O⊥平面MBD；
（Ⅱ）求出平面A₁DM的法向量，結合（I）中

A1O

為平面MBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）以點D為坐標原點，DA，DC方向分別是x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，
設正方體棱長為2，則A（2，0，0），B（2，2，0），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），O（1，1，0），M（0，2，1），…（4分）
則

A1O

=（-1，1，-2），

BD

=（-2，-2，0），

DM

=（0，2，1），
∵

A1O

•

BD

=0，

A1O

•

DM

=0，…（8分）
∴

A1O

⊥

BD

，

A1O

⊥

DM

，
即A₁O⊥BD，A₁O⊥DM
又∵BD∩DM=D，BD，DM?平面MBD
∴A₁O⊥平面MBD；    …（10分）
解：（Ⅱ）設平面A₁DM的法向量為

n

=（a，b，c），

A1D

=（-2，0，-2），
由

A1D

⊥

n

，

DM

⊥

n

得

∴

A1D • n =0 DM • n =

則

-2a-2c=0 2b+c=0

，
令b=1，則

n

=（-2，-1，2），…（15分）
cos＜

A1O

，

n

＞=

2-1-4

6 •3

=-

6

6

，
∴二面角A₁-DM-B的余弦值-

6

6

                …（20分）

點評：本題考查的知識點是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標系將空間線線垂直及二面角轉化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關鍵．