Question

如圖，已知直線L：的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線G：x=a²上的射影依次為點D、E．
（1）若拋物線的焦點為橢圓C 的上頂點，求橢圓C的方程；（2）（理科生做）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標(biāo)，并給予證明；
否則說明理由．
（文科生做）若為x軸上一點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由已知得b=以及c=1，即可求出橢圓C的方程；
（2）（理科生做）先讓m取0，求出點N的坐標(biāo)，再猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于此定點N．先利用斜率相等證明A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線，即可證明結(jié)論．
（文科生做）直接求直線AN和直線NE的斜率，利用上面的過程得到二者斜率相等即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）易知b=⇒b²=3，
又F（1，0），c=1，∴a²=b²+c²=4．
所以橢圓C的方程為：=1．
（2）（理科生做）因為F（1，0），k=（a²，0）
先探索，當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點N，且
猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點．
證明：設(shè)設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（a²，y₂），D（a²，y₁），
當(dāng)m變化時首先AE過定點N．
由⇒（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0．△4a²b²（a²+m²b²-1）＞0，（因為a＞1）
且．y₁+y₂=-   ①，y₁•y₂=    ②．
因為K_AN=，K_EN=，
所以k_AN-K_EN=    ③，
把①②代入③整理得K_AN-K_EN=0．
∴K_AN=K_EN∴A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點．
（文科生做）．直接求出直線AN和直線NE的斜率，利用上面的推導(dǎo)過程可以得到二者斜率相等，故A、N、E三點共線．即可得：．
點評：題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線和直線之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力及創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想．