Question

（本小題滿分14分）已知函數（）的圖象為曲線．

（Ⅰ）求曲線上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）若曲線上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線的切點的橫坐標的取值范圍；

（Ⅲ）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 不存在一條直線與曲線C同時切于兩點

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ），則，

即曲線上任意一點處的切線的斜率的取值范圍是；------------3分

（Ⅱ）由（1）可知，---------------------------------------------------------5分

解得或，由或

得：；-------------------------------7分

（Ⅲ）設存在過點A的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B，

，

則切線方程是：，

化簡得：，

而過B的切線方程是，

由于兩切線是同一直線，

則有：，得，----------------------11分

又由，

即

，即

即，

得，但當時，由得，這與矛盾。

所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點.     ---------------14分

考點：本試題考查了導數幾何意義的運用。

點評：對于切線方程的求解主要抓住兩點：第一是切點，第二就是切點出的切線的斜率。然后結合點斜式方程來得到。以及利用函數的思想求解斜率的范圍，或者確定方程的解即為切線的條數問題。