Question

20. 設函數f（x）＝－ax，其中a＞0.

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）證明：當a≥1時，函數f（x）在區間［0，＋∞）上是單調函數.

Answer 1

20.本小題主要考查不等式的解法、函數的單調性等基本知識，分類討論的數學思想方法和運算、推理能力.

（Ⅰ）解：不等式f（x）≤1即≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常數a＞0，

所以，原不等式等價于

即　                

所以，當0＜a＜1時，所給不等式的解集為｛x｜0≤x≤｝;

當a≥1時，所給不等式的解集為｛x｜x≥0｝.    

 

（Ⅱ）證明：在區間［0，＋∞）上任取x₁，x₂使得 x₁＜x₂.

f（x₁）－f（x₂）＝－－a（x₁－x₂）

 

＝－a（x₁－x₂）

 

＝（x₁－x₂）（－a）.        

 

∵＜1，且a≥1，

∴－a＜0.

又　x₁－x₂＜0，

∴f（x₁）－f（x₂）＞0，

即　f（x₁）＞f（x₂）.

所以，當a≥1時，函數f（x）在區間［0，＋∞）上是單調遞減函數.