【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是線段BC的中點． 
（1）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
【答案】
（1）解：因為在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，
所以分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），
因為D是BC的中點，所以D（1，2，0），
因為 
，設平面A1C1D的法向量 
，
則 
，即 
，取 
，
所以平面A1C1D的法向量 
，而 
，
所以 
，
所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為 
（2）解： 
， ，
設平面B1A1D的法向量 
，
則 
，即 
，
取 
，平面B1A1D的法向量 
，
所以 
，
二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值 
．
【解析】（1）分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面B1A1D的法向量和平面B1A1D的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握已知
為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為
，則
．
階梯計算系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD= 
，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．
(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;
(2)線段
上是否存在一點
,使得二面角
的余弦值為
?若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)求證：數列{an－n}是等比數列；
(2)求數列{an}的前n項和Sn；
(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數．(說明：圖中飲食指數低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數高于70的人，飲食以肉類為主)
(1)根據以上數據完成下面的2×2列聯表：
主食 蔬菜 | 主食 肉類 | 總計 | |
50歲以下 | |||
50歲以上 | |||
總計 |
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關”？并寫出簡要分析．
附參考公式：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}，其前n項和為Sn ．
（1）若{an}是公差為d（d＞0）的等差數列，且{ 
}也為公差為d的等差數列，求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{an}對任意m，n∈N* ， 且m≠n，都有 
=am+an+ 
，求證：數列{an}是等差數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，已知圓
的圓心坐標為
，半徑為
，以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數方程為：
（
為參數）．
（1）求圓和直線l的極坐標方程；
（2）點
的極坐標為
，直線l與圓相交于A，B，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}，其前n項和為Sn ．
（1）若{an}是公差為d（d＞0）的等差數列，且{ 
}也為公差為d的等差數列，求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{an}對任意m，n∈N* ， 且m≠n，都有 
=am+an+ 
，求證：數列{an}是等差數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinAsinC，且c＜2a．
（1）求證：△ABC為等腰三角形
（2）若△ABC的面積為8 
．且sinB= 
，求BC邊上的中線長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一塊邊長為
的正三角形薄鐵片，按如圖所示設計方案，裁剪下三個全等的四邊形（每個四邊形中有且只有一組對角為直角），然后用余下的部分加工制作成一個“無蓋”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（Ⅰ）請將加工制作出來的這個“無蓋”的正三棱柱形容器的容積
表示為關于
的函數，并標明其定義域；
（Ⅱ）若加工人員為了充分利用邊角料，考慮在加工過程中，使用裁剪下的三個四邊形材料恰好拼接成這個正三棱柱形容器的“頂蓋”．
（1）請指出此時的值（不用說明理由），并求出這個封閉的正三棱柱形容器的側面積
；
（2）若還需要在該正三棱柱形容器中放入一個金屬球體，試求該金屬球體的最大體積
．
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