Question

【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點M，且橢圓E上相異兩點A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為．

（Ⅰ）證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標；

（Ⅱ）求三角形ABM的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線恒過定點．（2）

【解析】試題分析：利用設而不求思想設出點的坐標，首先考慮 直線斜率不存在的情況，然后研究直線斜率存在的一般情況，設出直線斜截式方程與橢圓方程聯立方程組，代入整理后寫出根與系數關系，根據MA、MB的斜率之積為，代入，解出，得出直線過定點，第二步聯立方程組后利用判別式大于零，求出k的范圍，表示三角形的面積，利用基本不等式求出最值 .

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓的方程得，上頂點,記 由題意知， ，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故，且，因此，與已知不符，因此直線的斜率存在，設直線： ，代入橢圓的方程得： ………①

因為直線與曲線有公共點，所以方程①有兩個非零不等實根，

所以，

又， ，

由 ，得

即

所以

化簡得： ，故或，

結合知，

即直線恒過定點．

（Ⅱ）由且得： 或，

又

，當且僅當，即 時， 的面積最大，最大值為 ．