Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）在線段PD上是否存在點E，使CE與平面PBC所成的角為30⁰？若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據面面垂直的判定定理可證明；
（Ⅱ）以點A為坐標原點，建立坐標系，CE與平面PBC所成的角為30⁰，∴

CE

與平面PBC的法向量

n

=（1，0，1）成60°，利用向量夾角公式可列一方程，解出即可．

解答：證明：（1）連接AC，則AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．
解：（2）建立坐標系，以點A為坐標原點，

AB

，

AD

，

AP

分別為x、y、z軸正方向，
則B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
∴

DP

=(0，-2，1)，設

DE

=λ 

DP

=(0，-2λ，λ)，
∴

CE

=

CD

+

DE

=(-1，1，0)+(0，-2λ，λ)=(-1，1-2λ，λ)，

BC

=(0，1，0)，

BP

=(1，0，-1)，
設平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，則

y=0 x-z=0

，

n

=（1，0，1），
CE與平面PBC所成的角為30⁰，
∴

CE

與平面PBC的法向量

n

=（1，0，1）成60°．
cos60°=

1

2

=

n •(-1，1-2λ，λ)

| n |• 1+λ2+(1-2λ)2

，得λ=0，即點E的位置為點D，
所以存在點E，與點D重合．

點評：本題考查面面垂直的判定及線面角的求解，向量方法是解決立體幾何問題有力的工具．